3계 도함수?

 고등학교 교육과정 미적분2에서 물리와 연관지어 도함수 개념을 설명할 때다. 변위 x = f(t) 로 나타낼 수 있을 때 양 변을 한번 미분하면 시간에 따른 속도함수가 되고, 두번 미분하면 가속도함수를 구할 수 있다. 그렇다면 세번 미분하면?

 귀납적으로 생각해 봤을 때 3계도함수는 가속도의 변화정도를 나타낸다고 쉽게 추측 할 수는 있다. 이 개념을 나타내는 단어가 있는 지는 모르겠다... 어쨋든 그렇다면 미적분과 연관지어서 도함수 = 0 인 x값이 극값이고, 2계도함수 = 0 인 x값이 변곡점의 x좌표라면, 3계도함수=0인 지점은 무엇을 의미하는 가? 나아가 3계도함수 > 0 혹은 3계도함수 < 0  은 그래프 상에서 무엇을 좌지우지하는 걸까? 처음 의문은 이것이 시작이었다.

 3계도함수 = 0 인 경우의 예는 원운동으로 보인다. 원 운동은 가속도가 일정한 속도로 바뀌는 운동이기 때문이다. 원은 2차원 운동이므로 1차원에서 생각하면, 용수철같은 단진동 운동을 생각할 수 있다. 즉, 2계도함수 = kx (k는 상수)인 경우이다. 그렇담 3계도함수 = kx인 경우 또는 2계도함수 = kx^2 의 꼴로 나타내어지는 현상을 관찰하면 3계도함수가 무슨 의미를 갖는 지 알 수 있을지도 모른다. 

 앞서 2계도함수는 가속도를 나타낸다고 했다. 뉴턴역학에서 F=ma이고 질량 m은 시간에 따라 변하지 않으므로 상수이니, 힘F는 a 와 동등한 차원에 있다고 볼 수 있다. 즉 2계도함수 => 가속도  a => 힘 F 이렇게 생각하는 것도 가능하다. 내가 알고싶은 것은 3계도함수가 무슨 의미를 갖는 지 이고, 전 단락에서 2계도함수 = kx^2꼴로 나타나는 현상을 관찰하면 3계도함수의 의미를 알 수 있지 않을까 하는 가설을토대로 생각해보자. 그러면 F = kx^2 의 꼴로 나타나는 현상은 3계도함수가 존재하는 현상임을 생각해서 그러한 예를 찾으면 된다.

 하지만 오늘 결국 찾지 못했다. F = kx^-2꼴인 만유인력을 생각해 봤는데 그건 아닌 것같다. 내 생각에 화학에 뭔가 답이 있을 것같다. 오늘은 늦었으니 이만 자고 다음에 생각해보자.